第一章 函数与数列的极限的定义
- 数列的极限趋向于无穷默认趋向于正无穷$\lim_{x \to \infty} a_n=\lim_{x \to +\infty} a_n$。
- 函数在某一点极限存在的充分必要条件为函数在该点的左右极限存在且相等，即$\lim_{x \to x_0^{-1}} {f(x)}=\lim_{x \to x_0^{+1}} {f(x)}=A$。
- 函数在某一点极限存在不一定需要函数在该点有定义。对于$\lim_{x \to x_0} {f(x)}$，其定义为函数需要在$x_0$的去心邻域内有定义，所以函数在$x_0$处可以没有定义，但极限依然可以存在。
- 函数的极限$\lim_{x \to \infty}{f(x)}$的极限需要考虑两个情况，因为$x\rightarrow\infty$中并没有指明$x\rightarrow+\infty$还是$x\rightarrow-\infty$，所以两个情况都需要考虑。特别的，遇到$\lim_{x \to \infty} {e^x}$以及$\lim_{x \to \infty} {arctan(x)}$需要特别考虑。
第一章 函数与数列极限的性质
- 有界性
- 数列如果收敛（极限存在的另一种说法），那么数列一定有界（定义证明）；但是函数有界不一定收敛（举反例$\lim_{x \to +\infty}{sinx}$）。
- 保号性
- 注意保号性里面数列极限如果$>0$，可以推出数列从某个点开始的无穷多项也$>0$；但是如果数列从某个点开始的极限$>0$，只能推出数列的极限$\geqslant0$。
