一、极限的概念
数列的极限定义（$\varepsilon -N$）
函数的极限
- 自变量趋于无穷大时函数的极限（$\varepsilon -X$）
- 自变量趋于有限值时函数的极限（$\varepsilon -\delta$）（要求的是去心邻域，即函数值可以在这一点没有定义）
- 左极限定义（$\varepsilon -\delta$）
- 右极限定义（$\varepsilon -\delta$）
- 定理：函数极限存在的充要条件
二、极限的性质
有界性
保号性
- 注意如果 $f(x)>0$，只能推得 $limf(x)\geq0$，但是 $limf(x)>0$ 却可以推得 $f(x)>0$。可以从极限的定义考虑这个问题。
极限值与无穷小量之间的关系
三、极限存在的准则
- 夹逼准则
- 单调有界准则
四、无穷小量
无穷小量的概念
无穷小量的比较
- 高阶
- 低阶
- 同阶
- 等价
- 无穷小阶的定义
无穷小的性质
- 有限个无穷小的和仍然是无穷小
- 有限个无穷小的积仍然是无穷小
- 无穷小量与有界量的积仍然是无穷小
无穷大量
无穷大量的概念
常用的一些无穷大量的比较（五个无穷大量的比较）
无穷大量的性质
- 两个无穷大量的积仍然是无穷大量
- 无穷大量与有界变量之和仍然是无穷大量
无穷大量与无界变量的关系（回顾无穷大量与无界变量定义的区别）
无穷大量与无穷小量的关系
求极限（7种方法/8种方法）
利用基本极限求极限
利用等价无穷小求极限
利用有理运算法则求极限
- 如果两个函数的极限存在，他们的和差积的极限也存在，如果位于分母的函数极限不为零，那么商也存在。
- 存在 $\pm$ 不存在 $=$ 不存在，其他牵扯到极限不存在的函数的运算结果均为不一定。
利用洛必达法则求极限
使用条件：
- （易错）$lim_{x \to x_0}f(x)=lim_{x \to x_0}g(x)=0(\infty)$
- $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内可导，且 $g(x) \neq 0$
- （易错）$lim_{x \to x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}$ 存在
利用泰勒公式求极限（带
Peano余项的泰勒公式）- 四个常用泰勒公式（$e^x,sinx,cosx,ln(1+x)$）
利用夹逼准则求极限
利用单调有界性准则求极限
- 证明单调有界（极限存在）之后使用两边取极限
利用定积分定义求极限
- 提可爱因子$\frac{1}{n}$。
利用拉格朗日中值定理求极限
- 出现两个相同形式的函数的差的时候可以使用拉格朗日中值定理。
- 尤其是复杂函数的差可以考虑用拉格朗日中值定理，例如，根式的差，指数函数的差，三角函数的差，反三角函数的差
