行列式
行列式的概念
- 行列式是一个数，是不同行不同列乘积的代数和。
$$\begin{vmatrix}
a&b\\
c&d
\end{vmatrix}=ad-bc$$
$$\begin{vmatrix}
a_1&a_2&a_3\\
a_4&a_5&a_6\\
a_7&a_8&a_9
\end{vmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2\\
-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2$$
- 排列的定义：由1~n组成的有序数组称为n阶排列，通常用$\Sigma_{i=1}^nj_i$表示n阶排列。
- 逆序的定义：一个排列中，如果一个大的数排在小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。
- 一个排列中的逆序总数称为排列的逆序数，用$\tau(j_1,j_2,…,j_3)$表示$j_1,j_2,…,j_3$的逆序数。
- 奇排列偶排列的定义：如果一个排列的逆序数是偶数，则称排列为偶排列，否则称为奇排列。
行列式的性质
- 经过转置之后行列式的值不变。（转置值不变）
$$\left\lvert A^T\right\rvert = \left\lvert A\right\rvert $$
行列式两行互换，行列式的值变号。特别地，两行相同行列式的值为0。（互换行变号）
某行有公因数k，可把k提出行列式外。特别地，某行全为0，行列式的值为0。（可提公因数）
如果某行元素是两个数之和，可把行列式拆成两个行列式之和。（行列式可拆）
$$\begin{vmatrix}
a_{11}+b_{1}&a_{12}+b_{2}&a_{13}+b_{3}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
b_{1}&b_{2}&b_{3}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}
$$
- 某行的k倍加到1另一行上行列式的值不变。
行列式的展开公式
余子式：$a_{ij}$的余子式是去掉第$i$行第$j$列后得到的矩阵，记为$M_{ij}$。
代数余子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j}a_{ij}$。
通过代数余子式计算行列式：$\left\lvert A\right\rvert=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+…+a_{1n}A_{1n}$
重要公式：
- 上下三角矩阵的值是主对角线元素的乘积。
$$\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
&&\ddots&\vdots\\
&&&a_{nn}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a_{11}\\
a_{21}&a_{22}\\
\vdots&\vdots&\ddots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}=
a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$- 上下反三角矩阵的值是副对角线元素的乘积加上或不加符号。
$$\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&\cdots&a_{2(n-1)}\\
\vdots&\cdot\\
a_{n1}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
&&&a_{1n}\\
&&a_{2(n-1)}&a_{2n}\\
&\cdot&\vdots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}=
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$- 拉普拉斯公式三角（有零在角上时可以使用该公式）
$$\begin{vmatrix}
A&0\\
\ast&B
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
A&\ast\\
0&B
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
A
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
B
\end{vmatrix}$$- 拉普拉斯公式反三角（其中m为A方阵阶数，n为B方阵阶数）
$$\begin{vmatrix}
0&A\\
B&\ast
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\ast&A\\
B&0
\end{vmatrix}=(-1)^{mn}
\begin{vmatrix}
A
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
B
\end{vmatrix}$$- 范德蒙矩阵
$$\begin{vmatrix}
1&1&\cdots&1\\
x_1&x_2&\cdots&x_n\\
x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}
\end{vmatrix}=
\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)\\
所有大的数减小的数的差的乘积。$$- 爪型行列式
$$形如，
\begin{vmatrix}
x&x&x&x\\
x&x&0&0\\
x&0&x&0\\
x&0&0&x
\end{vmatrix}\\
的行列式为爪型行列式。$$- 运算方法为，将第一行（列）的所有元素消去，利用上（下）三角法则运算。
克拉默法则
如果方程的系数行列式$D=\left\lvert A\right\rvert\neq 0$，则方程存在唯一解，且，
$$x_1=\frac{D_1}{D}, x_2=\frac{D_2}{D}, \cdots, x_n=\frac{D_n}{D}\\$$
其中，$D_i$为将第$i$列替代为常数项列$b_1,b_2,\cdots,b_n$后的行列式。
推论1：如果齐次方程组的系数行列式不为0，则方程组只有一组零解
推论2：如果齐次方程组有非零解，则它的系数行列式必为0。
注：齐次方程组：常数项系数为0的方程组称为齐次方程组
