矩阵
概念&运算
- 矩阵的定义：$m\times n$个数排列成的$m$行$n$列的表格。
$$\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{bmatrix}\\$$
上述称为一个$m\times n$的矩阵，当$m=n$时，称为$n$阶矩阵或$n$阶方阵。
如果一个矩阵所有的元素都是0，则称此矩阵为零矩阵，简记0。
如果$A$和$B$都是$m\times n$的矩阵，称$A$和$B$为同型矩阵。
设$A$和$B$为同型矩阵，如果$a_{ij}=b_{ij}(\forall i=1,2,\cdots ,m;\forall j=1,2,\cdots,m)$,则称$A=B$。
设$A=[a_{ij}]$为n阶方阵，其所有元素构成的行列式称为方阵$A$的行列式，记为$\left\lvert A\right\rvert$。
注意:
- 仅方阵才有行列式$\left\lvert A\right\rvert$。
- $A=0$与$\left\lvert A\right\rvert=0$不要混淆。
$$A=\begin{bmatrix}
1&2\\
2&4
\end{bmatrix}\\ \neq0，但是\left\lvert A\right\rvert=0$$矩阵的运算法则
- 同型矩阵的加法： $A+B=[a_{ij}+b{ij}]$。矩阵的加法相当于对应元素相加，且满足交换律、结合律。
- 矩阵的数乘：$kA=[ka_{ij}]$。矩阵的数乘相当于单独乘以每一个元素，且满足交换律、结合律。
- 矩阵的乘法：假设$A$矩阵是$m\times s$的矩阵，$B$矩阵是$s\times n$的矩阵（A的列数必须与B的行数相等），则$AB=C$，其中$C$矩阵为$m\times n$的矩阵，且满足$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}$（行与列点积）。乘法满足结合律，分配律，但不满足交换律。
- 与单位矩阵$E$相乘：$AE=A$。
- 转置：设$[a_{ij}]_{m\times n}$，将这个矩阵行列互换，得到矩阵$A^T$，新矩阵为原矩阵的转置矩阵。记作$A=A^T$。
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(kA)^T=kA^T$
- $(AB)^T=B^TA^T$
- $(A^T)^T=A$
注意：
- $AB\neq BA$矩阵乘法没有交换律。
- $AB=0\nRightarrow A=0或b=0$。
- $AB=AC且A\neq 0 \nRightarrow B=C$。
对角矩阵的运算：
- 对角矩阵的定义：只有在主对角线上有值，其余位置全为0的矩阵称为对角矩阵。
$$\begin{bmatrix}
a_1&0&0\\
0&a_2&0\\
0&0&a_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b1&0&0\\
0&b_2&0\\
0&0&b_3
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
a_1b_1&0&0\\
0&a_2b_2&0\\
0&0&a_2b_3
\end{bmatrix}\\$$
注意：
- $\wedge_1\wedge_2=\wedge_2\wedge_1$满足交换律。
- n个对角矩阵等于对角矩阵元素的n次方。
$$\begin{bmatrix}
a_1\\
&a_2\\
&&a_3
\end{bmatrix}^n=
\begin{bmatrix}
a_1^n\\
&a_2^n\\
&&a_3^n
\end{bmatrix}\\$$ - 对角矩阵求逆等于对角矩阵个元素求倒数。
$$\begin{bmatrix}
a_1\\
&a_2\\
&&a_3
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{a_1}\\
&\frac{1}{a_2}\\
&&\frac{1}{a_3}
\end{bmatrix}\\$$
伴随矩阵
- 定义：假设$A$是n阶方阵，$A$的伴随矩阵为$A^\ast$
$$A^\ast=\begin{bmatrix}
A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\
A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}
\end{bmatrix}\\其中，A_{ij}为第i行第j列的代数余子式。$$
性质：
- $AA^\ast=A^\ast A=\left\lvert A\right\rvert E$
- $(kA)^\ast=k^{n-1}A^\ast$
- $(A^\ast)^T=(A^T)^\ast$
- $\left\lvert A^\ast\right\rvert=\left\lvert A\right\rvert^{n-1}$
- $(A^\ast)^\ast=\left\lvert A\right\rvert^{n-2}A$
- $A^{-1}=\left\lvert A\right\rvert^{-1}A^\ast,A^\ast=\left\lvert A\right\rvert A^{-1}$
- $(A^\ast)^{-1}=(A^{-1})^\ast=\left\lvert A\right\rvert^{-1}A$
注意：
$$r(A^\ast)=\begin{cases}
n,&r(A)=n\\
1,&r(A)=n-1\\
0,&r(A)<n-1
\end{cases}\\$$
可逆矩阵
定义：假设$A$是$n$阶矩阵，如果存在$n$阶矩阵B，使$AB=BA=E$成立，则称$A$是可逆矩阵，$B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}=B$。
定理1：如果$A$可逆，则$A$的逆矩阵唯一。
定理2：设$A、B$均为$n$阶方阵，且$AB=E$，则$BA=E$。
定理3：$A$矩阵可逆$\Leftrightarrow \left\lvert A\right\rvert\neq0$。
性质
- 如果$A$可逆，则$A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$。
- 如果$A$可逆，且$k\neq 0$，则$kA$可逆，且$(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$。
- 如果$A、B$均可逆，则$AB$也可逆，且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，特别地，$(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2,(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n$。
- 如果$A$可逆，则$A^T$也可逆，且$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$。
- 二阶矩阵的逆矩阵求法：主对角线互换，副对角线变号。
注意：
- 如果$A$可逆，则$\left\lvert A^{-1}\right\rvert=\left\lvert A\right\rvert^{-1}$。
- 当$A、B、A+B$都可逆时，$(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$（处理这个矩阵的时候要利用单位矩阵变形）。
求逆矩阵的方法
- 定义法。
- 使用伴随矩阵求逆矩阵。
- 使用初等行变换求逆矩阵。$(A|E)\longrightarrow(E|A^{-1})$。
- 使用分块矩阵求逆矩阵。
$$\begin{bmatrix}
A&0\\
0&B
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
A^{-1}&0\\
0&B^{-1}
\end{bmatrix}或
\begin{bmatrix}
0&A\\
B&0
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
0&B^{-1}\\
A^{-1}&0
\end{bmatrix}\\$$
初等变换与初等矩阵
矩阵的初等行（列）变换
- 用$k\neq 0$乘第$A$行中的每一个元素（倍乘）。
- 互换$A$中的两行元素（互换）。
- 把某行的元素的$k$倍加到另一行上（倍加）。
初等矩阵
- 单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。
- 初等矩阵$P$左乘$A$，$PA$是$A$作一次与$P$同样的行变换（左乘行变换）。
- 初等矩阵$P$右乘$A$，$PA$是$A$作一次与$P$同样的列变换（右乘列变换）。
初等矩阵的逆矩阵
倍加矩阵的逆矩阵还是初等矩阵（倍加）
$$\begin{bmatrix}
1&0&X\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
1&0&-X\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}\\$$互换矩阵的逆矩阵是其本身
$$\begin{bmatrix}
0&1&0\\
1&0&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
0&1&0\\
1&0&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}\\$$倍乘矩阵的逆矩阵还是倍乘矩阵
$$\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&k&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&\frac{1}{k}&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}\\$$可逆矩阵$A$总可以表示为若干初等矩阵的乘积。
行阶梯矩阵
- 如果有零行，则零行一定在矩阵的底部。
- 每个非零行的主元（即该行最左边的第一个非零元）所在的列下面是零。
- 行最简：一个阶梯矩阵，如果还满足：非零行的主元都是1，且主元所在列的其他元素都是零，则称该阶梯矩阵行最简。
矩阵等价
- 如果矩阵$A$可以通过若干次初等变换得到$B$,就称矩阵$A$和$B$等价。
- 等价的充要条件：两个矩阵秩相等。$A\cong B\Longleftrightarrow r(A)=r(B)$
分块矩阵
分块运算
- 加法
$$\begin{bmatrix}
A_1&A_2\\
A_3&A_4
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
B_1&B_2\\
B_3&B_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
A_1+B_1&A_2+B_2\\
A_3+B_3&A_4+B_4
\end{bmatrix}\\$$- 乘法
$$\begin{bmatrix}
A&B\\
C&D
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
X&Y\\
Z&W
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
AX+BZ&AY+BW\\
CX+DZ&CY+DW
\end{bmatrix}\\$$- 转置
$$\begin{bmatrix}
A&B\\
C&D
\end{bmatrix}^T=
\begin{bmatrix}
A^T&C^T\\
B^T&D^T
\end{bmatrix}\\$$- 连乘
$$\begin{bmatrix}
A&0\\
0&B
\end{bmatrix}^n=
\begin{bmatrix}
A^n&0\\
0&B^n
\end{bmatrix}\\$$- 求逆
$$\begin{bmatrix}
A&0\\
0&B
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
A^{-1}&0\\
0&B^{-1}
\end{bmatrix}或
\begin{bmatrix}
0&A\\
B&0
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
0&B^{-1}\\
A^{-1}&0
\end{bmatrix}\\$$
方阵的行列式
- $\left\lvert A^T\right\rvert=\left\lvert A\right\rvert$
- $\left\lvert kA\right\rvert=k^n\left\lvert A\right\rvert$
- $\left\lvert AB\right\rvert=\left\lvert A\right\rvert\left\lvert B\right\rvert$
- $\left\lvert A^2\right\rvert=\left\lvert A\right\rvert^2$
- $\left\lvert A^\ast\right\rvert=\left\lvert A\right\rvert^{n-1}$
- $\left\lvert A^{-1}\right\rvert=\left\lvert A\right\rvert^{-1}$
- $$\begin{bmatrix}
A&0\\
\ast&B
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
A&\ast\\
0&B
\end{bmatrix}=\left\lvert A\right\rvert\left\lvert B\right\rvert\\$$ - $$\begin{bmatrix}
0&A\\
B&\ast
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\ast&A\\
B&0
\end{bmatrix}=(-1)^{mn}\left\lvert A\right\rvert\left\lvert B\right\rvert\\$$
\partial
