常用分布
常用的分布，包括离散型随机变量的分布与连续型随机变量的分布与其对应的概率密度函数都在这篇博客当中描述了出来，尤其要注意相关分布的特性以及应用场合，如果可以的话，可以记住分布之间的可转换性。
离散分布
$0-1$分布
定义： 如果随机变量$X$有分布律
| $X$ | $0$ | $1$ |
|---|---|---|
| $P$ | $1-p$ | $p$ |
$0<p<1$则称$X$服从参数为$p$的$0-1$分布，或称X具有$0-1$分布。
二项分布（有放回的抽样）
定义： 如果随机变量$X$有分布律
$$
P{X=k}=C^k_np^kq^{n-k}, k=0, 1, 2, \dotsb, n,
$$
其中$0<p<1, q=1-p, $则称$X$服从参数为n, p的二项分布，记作$X\sim B(n, p).$
在$n$重伯努利实验中，如果每次试验成功率为$p(0<p<1)$，则在n
次独立重复试验中成功的总次数$X$服从二项分布。
当$n=1$时，不难验证二项分布就退化为$0-1$分布，所以$0-1$分布也可以记为$B(1, p)$。
泊松分布
定义： 如果随机变量$X$的分布律为
$$P{X=k}=\frac{\lambda^k}{k!}, k=0, 1, 2, \dotsb, $$
其中$\lambda>0$为常数，则称随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim P(\lambda)$。
注意： 当二项分布的n很大p很小时，二项分布可以近似看做成泊松分布。
连续分布
均匀分布
定义： 如果连续型随机变量$X$的概率密度为
$$
f(n) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a\leq x \leq b, \ 0, & 其他, \end{cases}
$$
则称$X$在区间$[a, b]$上服从均匀分布，记作$X\sim U[a, b]$.
如果概率密度为
$$
f(n) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a< x < b, \ 0, & 其他, \end{cases}
$$
则称$X$在区间$(a, b)$上服从均匀分布，记作$X\sim U(a, b)$.
指数分布
定义： 如果连续型随机变量$X$的概率密度为
$$
f(n) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, &x>0, \0, &x
\leq 0, \lambda >0, \end{cases}
$$
称$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，记作$X\sim E(\lambda)$
设$X\sim E(\lambda)$，则$X$的分布函数为
$$
F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, &x>0, \
0, &x\leq 0, \lambda>0,
\end{cases}
$$
正态分布
定义： 如果连续型随机变量$X$的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<+\infty
$$
当$\mu,\sigma$为常数且$\sigma>0$，则称$X$服从参数为$\mu,\sigma$的正态分布，记作$X\sim N(\mu,\sigma^2)$
当$\mu=0,\sigma^2=1$时，即$X\sim N(0,1)$，称$X$服从标准正态分布，此时用$\varphi(x)$表示$X$的概率密度，即$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2}},-\infty<x<+\infty.$
