写在前面
本文的内容来自于
“Un-Ku Moon, K. Mayaram and J. T. Stonick, “Spectral analysis of time-domain phase jitter measurements,” in IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, vol. 49, no. 5, pp. 321-327, May 2002, doi: 10.1109/TCSII.2002.802343.”
我阅读这篇文章的主要目的在于弄清楚各种抖动的定义到底是什么，它们之间到底有什么关系。
jitter的种类
作者说通常用来描述jitter的量有，”period jitter”、”edge-to-edge jitter”、”cycle-to-cycle jitter”、”absolute jitter”、”tracking jitter”等等。
本文的目的就是总结这些量，并且弄清它们之间的关系。
抖动&相位噪声
假设一个理想的无抖动的信号为$s(t)$，带有抖动的信号为$s_j(t)=s(t+j(t))$，我们直接对上述两个信号做傅里叶展开，理想的信号如下，
$$
s(t)=c_1cos(\omega_ot)+c_2cos(2\omega_ot)+c_3cos(3\omega_ot)+···
$$
带有抖动的信号如下，
$$
s_j(t)=c_1cos(\omega_ot+\omega_oj(t))+c_2cos(2\omega_ot+2\omega_oj(t))+···\
=c_1cos(\omega_ot+\phi(t))+c_2cos(2\omega_ot+2\phi(t))+···\
$$
在有抖动的信号的傅里叶展开式里，有两种抖动的表达形式，一个是$\omega_oj(t)=\phi(t)$，我们马上可以看到这里有单位的转换了，$j(t)$的单位为$[s]$，$\phi(t)$的单位为$[rad]$。
我们把单位为$[s]$的$j(t)$称为时间抖动，Jitter；把单位为$[rad]$的$\phi(t)$称为相位噪声，Phase Noise。
所以这里我们搞清楚了相位噪声和抖动的关联与区别。
$rad^2/Hz$还是$dBc/Hz$
这里我在看Bogdan的文章”Event-Driven Simulation and Modeling of Phase Noise of an RF Oscillator”也存在疑问，他原文是这样描述的，
这里的谱的单位为$[rad^2/s]$，可是我一直以为是$[dBc/Hz]$，这两个到底有什么关联呢？作者马上给出了答案。
Narrow-Band FM Approximation
这里使用到了其实在”ADPLL相位域MATLAB模型”中我就推导过的一个近似方法。说起来也是挺有趣的，当时在做ADPLL的相位域模型，在测量输出信号的相位噪声的时候，我直接对几十GHz的信号做了采样操作，并且想要得到频谱分辨率为10kHz级别的相位噪声谱密度。（真是一个天真的想法）
上述操作是不行的，闫老师当时就指出了问题，我一直没有找到对应的理论，后来我在2023年初的春节假期里进行了推导，发现确实是那么回事，没想到推导的结论就是我们的窄带FM近似… 😄
这里就不做推导了，需要的话可以去我那篇文章里看看，这里就把结论直接写出来，
$$
a(t)=cos(\omega_ot+\phi(t))\approx cos(\omega_ot)-sin(\omega_ot)\phi(t)
$$
上述式子成立的条件就是$\phi(t)\rightarrow0$或者是$\phi(t)<<2\pi$。
如果是符合窄带FM特征的抖动，就可以直接将相位抖动$\phi(t)$的频谱放在基频$\omega_o$处。当然这样做需要换一下单位，由原先的[dBc/Hz]换成[rad^2/Hz]。
可以看到，这两个单位如果符合窄带FM近似的条件的话，是可以自由转换的，当然前提是必须要满足窄带FM近似的条件。
作者在这里还非常严谨地补充了，如果抖动不符合窄带FM近似地条件，那么相位噪声谱密度的形状是怎么样的，是一型Bessel函数的形状，我上网搜了一下，大概长下面这个样子，
真的非常的诡异，作者为了防止我们进一步掉入钻研Bessel函数的陷阱，告诉了我们，”In the analysis of oscillator/PLL systems and applications, the narrow-band assumption is typically accurate”，也就是说在振荡器和PLL系统里面，一般窄带FM近似就足够准确了。
Two Most Commonly Used Jitter Types
作者说这里采用的描述和拉扎维的一篇论文”A study of oscillator jitter due to supply and substrate noise”比较类似，作者简单介绍了两种Jitter的类型，Period Jitter以及Absolute Jitter
Period Jitter
实际测量的变化是周期长度的变化，周期的定义为一个上升沿到下一个上升沿。因为测量的周期的变化，有些人称这种Jitter为edge-to-edge jitter、cycle jitter、cycle-to-cycle jitter。作者在这边还贴心地提示了，cycle-to-cycle jitter这一说法是有歧义地，如下所示，
作者说这种period jitter的描述一般在数字应用（例如微处理器）中经常采用，因为数字电路中比较关心时钟边沿之间的数据锁存情况。
Absolute Jitter
Absolute jitter，绝对抖动也是常用的一种抖动衡量办法，有的时候tracking jitter是这种抖动的另一个名字。作者说相对于tracking jitter，absolute jitter这个名字更加有用，所以作者采用absolute jitter来指代这种与理想源之间的绝对时间偏差。
其他的名字
| 文章作者 | period jitter的别名 | absolute jitter的别名 |
|---|---|---|
| Maneatis | cycle-to-cycle jitter | tracking jitter |
| Herzel & Razavi | cycle jitter | long term jitter |
本文在使用名称的同时还会给出具体的表达式，以防止出现误解。
以二阶PLL为例讲解这些不同的jitter之间的区别
作者给出了二阶PLL相关的公式，并介绍了二阶PLL相关的概念，这些概念将会帮助读者进一步理解jitter之间的关联和区别。
测量开环PLL（单独工作的振荡器）
作者先给出了绝对抖动的定义，absolute jitter，如下图所示，
并且给出了一般的振荡器的相位噪声模型，$|X(\omega)^2|\propto1/\omega^2$，这是在只考虑白噪声的前提下的。
接着作者给出了周期偏移的定义：$p_1(n)=x(n)-x(n-1)$，假如两次时间戳偏移的大小和方向完全一样，那么周期偏移完全为零。接下去，作者又做了推广，如下，
$$
p_N(n)=x(n)-x(n-N)
$$
对于$\sigma_N^2$的大小，作者专门做了推导，过程比较复杂，最终的结果如下所示，
读者可以看到，随着$N$不断增大，起到的滤波作用就越小，当$N=1$时，低通滤波的效果是最强的，作者还绘制了图片来描述这一问题，如下所示，
重要结论
所以这里我给出结论，在Bogdan的VHDL模型中，采用的是$N=1$的噪声功率谱密度情形，也就是Period Jitter；而在一般测量PLL的$Jitter_{rms}$时，我们采用的是$N=length(Data)$的方式进行测算的，所以Period Jitter由于自身携带了滤波效应，所以计算出的$Jitter_{rms}$自然就会小；而$N=length(Data)$的方式测算出的噪声功率谱密度曲线与绝对抖动的情形最为接近，滤波效应小，所以计算出的$Jitter_{rms}$比较大。
读者可以记住的结论是：$p_N(n)=x(n)-x(n-N)$一式中的N越大，其抖动越趋近于绝对抖动。N越小，低通滤波效应越强，抖动大小越小。
