写在前面
最近有一个需求需要做一个低压带隙基准，本人之前制作的带隙基准都是高压带隙基准，输出的电压都是1.25V的带隙电压，这次突然要做一个低压带隙基准，对本人也是一种考验。于是，我调研了低压带隙基准，根据如下论文进行了设计工作，参考文献如下，
B. Razavi, “The Design of a Low-Voltage Bandgap Reference [The Analog Mind],” in IEEE Solid-State Circuits Magazine, vol. 13, no. 3, pp. 6-16, Summer 2021, doi: 10.1109/MSSC.2021.3088963.
普通带隙基准是如何工作的？
带隙基准的目的就是获得一个与温度无关的电压，我们利用一个与温度成反比的NTAT电压，加上一个与温度成正比的PTAT电压，就可以获得一个与温度无关的CTAT电压。这里简单说明正温度系数电压和负温度系数电压都是怎么获得的。
负温度系数电压
负温度系数电压利用的三极管的VBE电压，如下图所示，
这个电压也就是二极管的正向电压，具有负温度系数。下面，具体说明这个电压是如何与温度负相关的。对于一个三极管器件，我们熟悉其特性曲线的表达式，如下所示，
$$
I_C=I_Se^{\frac{V_{BE}}{V_T}}
$$
其中的$V_T=kT/q$为热电压，这时我们可能会说，诶，这个为了保持一定的电流，那么$V_{BE}$应该和温度成正比呀？我第一次看到这个表达式的时候，也会有这样的疑问，但是实际上，我们忽略了$I_S$饱和电流的这一参数的影响，该参数与$\mu kTn_i^2$成正比。这些参数对于读者来说都是魔法参数，需要与我们所关注的温度相挂钩，这里给出这些参数与温度的关系。首先是我们的$\mu$，也就是少数载流子迁移率，与温度的关系如下所示，
$$
\mu\propto\mu_0T^m,m\approx-3/2
$$
接下去是$n_i^2$，$n_i$是硅的本征载流子浓度，这个参数与温度的关系如下所示，
$$
n_i^2\approx T^3e^{-\frac{E_g}{kT}}
$$
其中，$E_g\approx 1.12eV$，为硅的带隙能量。把上述关系写入我们的三极管特征方程中，有如下关系，
$$
I_S=bT^{2.5}e^{-\frac{Eg}{kT}}
$$
由于我们刚才给出的是这些参数与温度的关系，因此，b是一个不包含温度的比例系数。我们需要计算$V_{BE}$与温度的关系，从数学角度来说，也就是希望计算$\frac{\partial V_{BE}}{\partial T}$，所以我们给出$V_{BE}$的表达式，如下所示，
$$
V_{BE}=V_Tln\frac{I_C}{I_S}
$$
接下去我们就是要将上面的表达式的$V_{BE}$对温度$T$求导，利用乘法求导法则，如下所示，
$$
\frac{\partial V_{BE}}{T}=\frac{\partial V_T}{\partial T}ln\frac{I_C}{I_S}+V_T\frac{I_S}{I_C}\cdot(-\frac{I_C}{I_S^2})\frac{\partial I_S}{\partial T}=\frac{\partial V_T}{\partial T}ln\frac{I_C}{I_S}-\frac{V_T}{I_S}\frac{\partial I_S}{\partial T}
$$
上面的式子归根到底需要求两个导数，一个是$\frac{\partial V_T}{\partial T}$，还有一个是$\frac{\partial I_S}{\partial T}$，根据我们前面的分析，$\frac{\partial V_T}{\partial T}$的表达式如下所示，
$$
\frac{\partial V_T}{\partial T}=\frac{k}{q}
$$
$\frac{\partial I_S}{\partial T}$的表达式略微复杂，如下所示，
$$
\frac{\partial I_S}{\partial T}=2.5bT^{1.5}e^{\frac{-E_g}{kT}}-bT^{2.5}\frac{E_g}{kT}e^{\frac{-E_g}{kT}}
$$
整理上面的式子，我们可以得到最终的表达式，如下所示，
$$
\frac{\partial V_{BE}}{\partial T}=\frac{V_{BE}-2.5V_T-Eg/q}{T}
$$
这个值本质上与$V_{BE}$的大小有关，当$V_{BE}\approx800mV$，在室温下，$V_T=\frac{kT}{q}=\frac{1.380649e-23\times 300}{1.602e-19}\approx25.84mV$，$E_g=1.12eV$，将上述表达式的值带到上述等式中，可以得到$V_{BE}$关于温度的一阶导数为，$\frac{\partial V_{BE}}{\partial T}=-1.282mV/K$。
值得注意的是，上述三项中，中间一项$-2.5V_T/T$是可以忽略的一项，$V_{BE}/T$贡献$2.5mV/K$的正向变化，$-E_g/q/T=-1.12V/300K\approx-4mV/K$贡献了$-4mV/K$的负向变化。所以，如果忽略中间项的话，那么总的导数为$-1.5mV/K$。
正温度系数电压
正温度系数由两个$V_{BE}$的差值得到，如果两个晶体管的电流密度不同，那么，他们$V_{BE}$的差值就与绝对温度成正比，如下所示，
$$
\Delta V_{BE}=V_{BE1}-V_{BE2}=V_Tln\frac{nI_0}{I_{S1}}-V_Tln\frac{I_0}{I_{S2}}=V_Tlnn
$$
接下去，为了获得$\Delta V_{BE}$与温度的关联，将$\Delta V_{BE}$对$T$求导，如下所示，
$$
\frac{\partial \Delta V_{BE}}{\partial T}=\frac{k}{q}lnn
$$
先估算一下$\frac{k}{q}$的大小，如下所示，
$$
\frac{k}{q}=87uV/K
$$
获得恒定温度系数的电压和
通过上面的$V_{BE}$和$\Delta V_{BE}$的结合，适当放大$\Delta V_{BE}$，就可以得到恒定温度系数的量，如下所示，
$$
V_{out}=V_{BE}+\Delta V_{BE}\cdot N
$$
将上述式子对温度求导，如下所示，
$$
\frac{\partial V_{out}}{\partial T}=-1.5mV/K+N\cdot 87uV/K=0
$$
计算得到$N=17.24$
普通带隙基准电路
普通的带隙基准电路如下图所示，电路通过运算放大器和顶部的电流镜，强制左右两路的电流完全相同，并且强制X、Y两点的电压一致。
那么落在电阻$R_1$上的电压就是两个$V_{BE}$的差值，这样Y点的电压就是$\Delta V_{BE}+V_{BE2}$，通常为了保证$V_Y$电压对温度的导数为零，需要将$\Delta V_{BE}$乘以一个倍数$N$，假设这里的晶体管的电流密度的比例为$n=ln15\approx2.7$，为了保证恒定的输出电压系数，我们需要$N=\frac{17.24}{2.7}\approx6.37$，因此，通常的做法是在运放正负输入和电流镜之间，放置一个电阻，通过电阻的方式实现这个倍数。这个输出电压的大小如下所示，
$$
V_{out}=V_{BE}+17V_T\approx1.2
$$
上面的值差不多就是硅的带隙电压，因此，该基准称为带隙基准也正是基于这个原因。但是读者可以发现，该电压是一个比较高的电压，在低于1.2V供电的电路中无法进行实现，因此需要一个低压电路以实现这个电压。
低压带隙基准
下面的电路通过产生一个恒定的电流来产生一个恒定的电压，避免了直接产生恒定电压，从而规避了需要高供电电压的问题。
上述电路的工作原理是，通过运算放大器保证$V_X=V_Y$，因此，$I_{D2}=\frac{\Delta V_{BE}}{R1}+\frac{V_{BE}}{R_3}$，通过电流镜镜像到$M3$上，从而产生对应的电压$V_{out}$，如下所示，
$$
V_{out}=(\frac{\Delta V_{BE}}{R1}+\frac{V_{BE}}{R_3})R_L
$$
从上述表达式中可以看出，$\Delta V_{BE}$与$V_{BE}$之间的比例通过$R_1$和$R_3$两个电阻进行控制。因此，如果要获得恒定的输出电压，需要下面的式子成立，
$$
\frac{R_3}{R_1}lnn=17.24
$$
上述电路和分析可以使得读者自行制作一个低电压的Bandgap。
