写在前面
最近在工作中遇到了一个关于Bandgap的问题，问：如下两个电路，$Q1:Q2=1:8$，其余所有MOS管的尺寸均一致，问哪一个电路是正确的？
我从来没有思考过这个问题，于是，我仔细思考，将思考的过程和结果记录在此博客中，以供之后查看。
方法一
这两个电路中存在一个差分转单端运算放大器，这个运算放大器是由两个NMOS管构成的，NMOS管构成共栅放大器，其中，栅极接收来自下方的Bipolar和电阻组成的网络的输出电压；从其中一个NMOS的漏极产生输出电压，具体的等效电路如下图所示，
可以看到，上面连个电路的区别在于左右两个支路反馈的极性，其中（a）图中的极性分别为右侧支路的反馈为负反馈，左侧支路的反馈为正反馈；（b）图则相反，右侧支路的反馈为正反馈，左侧支路的反馈为负反馈。要搞清楚上面两中反馈的机制到底对电路会产生怎么样的影响，应该先写出电路的电压-电流表达式，先有一个数学层面的感受。
解出下面的电路图中的电压表达式，
由于Bipolar的特性为指数特性，其电流来自于基极的少子的扩散运动，扩散运动来自于BE界面和BC界面浓度的不一致，其中BC界面的浓度可以忽略，基本为零，BE界面的浓度服从Fermi-Dirac分布，可以做Boltzmann近似，得到近似指数的分布，其表达式如下，
$$
I_C=I_Se^\frac{V_{BE}}{V_T}
$$
根据上述分析，在（a）图中，$V_1$的表达式如下所示，
$$
V_1=V_Tln\frac{I_C}{I_S}
$$
在（a）图中，$V_2$的表达式如下所示，
$$
V_2=I_CR+V_Tln\frac{I_C}{nI_S}
$$
我们可以在数学上绘制出这两个点的$V-I$特性曲线，如下所示，
可以看到这两个特性曲线存在两个交点，即存在两个状态，使得电压相等且电流相等。在运算放大器控制下，这两个点都可能存在稳定的工作可能性。这里就解释了为什么Bandgap需要一个启动电路的原因。
接下去我们对$V_2-V_1$关于$I_C$求导，如下所示，
$$
\frac{\partial (V_2-V1)}{\partial I_C}=R+V_T\frac{nI_S}{I_C}-V_T\frac{I_S}{I_C}=R+(n-1)\frac{I_S}{I_C}>0
$$
可以看出，上面的导数的结果，只要保证$n>1$的条件，在我们的案例中$n=8$，就可以保证当$I_C\uparrow$时，一定有$(V_2-V_1)\uparrow$。
所以当我们再看如下这两个电路图时，在（a）图中，当$(V_2-V_1)\uparrow$时，运算放大器的输出增大，迫使$MP1$和$MP2$的栅极电压上升，从而流过$MP1$和$MP2$的电流下降，即，使得$I_C\downarrow$，从而使得$(V_2-V_1)\downarrow$，逆转原先的增大趋势，形成负反馈，最终电路趋于稳定。
再来看在（b）图中，当$(V_2-V_1)\uparrow$时，运算放大器的输出降低，迫使$MP1$和$MP2$的栅极电压下降，从而流过$MP1$和$MP2$的电流上升，即，使得$I_C\uparrow$，从而使得$(V_2-V_1)\uparrow$，形成正反馈，最终$(V_2-V_1)$的值会越来越大，导致电路不能正常工作。
总结一下
这篇文章总结了Bandgap电路的工作特性，主要说明了Bandgap电路中的反馈极性的分析问题，以及电路中的稳定点存在两个的问题，从数学上证明了这两个问题的结果。
最后，让我们从直观的理解上，分析一下为什么随着电流的增大，$V_2-V_1$会越来越大。本质上是因为电阻的$V-I$特性是线性的，而Bipolar的$V-I$特性是对数的，对数的关系要弱于指数的关系，而$V_2$中的对数成分由于比例关系$n$的存在，而形成了一个更加弱的对数关系。从这个角度来看，我们可以认为$V_2$完全由线性关系主导（当然，实际情况并不是如此），而$V_1$则是由一个对数关系主导的。由于对数关系的关联性要弱于线性关系，所以，$V_2$对变量$I_C$对的耦合程度要远大于$V_1$对变量$I_C$的耦合关系。
让我们再从直观的角度来看一下为什么电路存在两个稳定的工作点，我们可以直接绘制出如下的电压电流关系图，
可以很明显的看到，这两个$V-I$特性曲线存在两个交点。
到这里，我们分析了两个我从来没有考虑过的问题，解决了之前仿真过程中一直困扰我的两个问题，在此记录一下，以供未来查阅。
方法二
最近同学又告诉我了一种新的分析方法，在此总结一下，以供之后参考。这种分析方法将整个电路的正反馈环路进行了分析，假设在输入对管的栅极上存在一个电压，如下图所示，
案例一
在（a）的案例中，信号经由MN2的栅极->MN2的漏->MP2的栅->MP1的漏->MN1的栅，这个环路进行运作，在这个环路上，我们先给出由MN2的栅到MN2的漏的表达式，这时候，MN2管的跨导由于源退化电阻的存在，导致跨导减小了，
$$
G_1=\frac{-g_{mN}}{1+g_{mN}(R+1/g_{mQ})}\frac{1}{g_{mP}}
$$
其中，$g_{mQ}$为双极型晶体管的跨导。接下去我们再计算从MP2的栅到MP1的漏的表达式，
$$
G_2=-g_{mP}(1/g_{mN}+1/g_{mQ})
$$
将上述两个增益乘起来，得到如下的总增益，
$$
G=G_1G_2=\frac{g_{mN}(1/g_{mN}+1/g_{mQ})}{1+g_{mN}(R+1/g_{mQ})}
$$
假设$g_{mN}:g_{mQ}=k$，那么，上面的表达式可以化简为如下，
$$
G=\frac{1+k}{1+k+g_{mN}R}
$$
三极管的跨导$g_{mQ}$与MOS管的跨导$g_m$之间的关系
一般来说，三极管的跨导的表达式如下所示，
$$
g_{mQ}=\frac{I_C}{V_T}\approx40I_d
$$
这个跨导在我的”PaulGray经典著作读书笔记第一章”的阅读笔记里面有提到，这个跨导只与电流和温度有关，与双极型晶体管采用的材质、尺寸、型号（PNP or NPN）都是无关的。
对于处在饱和区的MOS管来说，其跨导可以使用下面的表达式表达，
$$
g_m=10I_d
$$
对于亚阈值区的器件来说，$I_d$与$V_{gs}$的关系如下，
$$
I_d=I_0e^{\frac{V_{gs}}{\zeta V_T}}
$$
其中，$\zeta>1$，相当于在亚阈值区的器件基本可以视为三极管，但是其等效热电压会更高，对应出的跨导表达式如下所示，因此，其跨导也就更小，
$$
g_m=\frac{I_d}{\zeta V_T}\approx\frac{40I_d}{\zeta}
$$
因此，一般来说，$g_{mN}:g_{mQ}=k$，其中，$k\in(0,1)$
再回到我们的增益表达式，如下所示，
$$
G=\frac{1+k}{1+k+g_{mN}R}
$$
这个表达式的取值范围为$G\in [0,1]$，说明在这个电路的配置下，正反馈的回路表现为对信号的衰减，其增益小于1。
案例二
我们再来看另外一种情况，如下图的b所示，
在这种情况下，信号由MN1的栅->MP1的漏->MP2的栅->MN2的漏->MN1的栅这一正反馈回路传递，我们先计算一下由MN1的栅到MP1的漏的增益，
$$
G_1=\frac{g_{mN}}{1+g_{mN}(1/g_{mQ})}\frac{1}{g_{mP}}
$$
我们再来计算由MP2的栅到到MN2的漏的表达式，如下所示，
$$
G_2=g_{mP}(1/g_{mN}+R+1/g_{mQ})
$$
当我们把上面的两个表达式写在一起时，可以得到如下的表达式，
$$
G=G_1G_2=\frac{g_{mN}(1/g_{mN}+R+1/g_{mQ})}{1+g_{mN}(1/g_{mQ})}
$$
将关系$g_{mN}:g_{mQ}=k$代入表达式后，可以得到如下的表达式，
$$
G=\frac{1+k+g_{mN}R}{1+k}
$$
从这个表达式中，可以发现，这种电路配置下，正反馈环路的增益大于1，使得电路会产生不稳定的情况。
总结一下
我们可以现在总结一下这两个电路的异同，这两个电路的区别在于，正反馈回路最一开始的跨导很重要，其决定了电路的增益。如果需要抑制正反馈环路的增益，需要在环路最开始的跨导上应用源退化电阻，也就是（a）电阻，从而使得跨导降低，降低正反馈环路的增益大小。从公式上来看，源退化电阻会导致$G_1$的增益中的跨导部分降低一定的倍数；然而另一侧的源退化电阻会导致$G_2$的增益中的负载部分上升一定的倍数。如果要使增益小于一，则要令增益中降低的倍数大于上升的倍数，因此，在产生$G_1$增益的一侧要应用更大的源退化电阻，因为两个三极管的$g_{mQ}$的值一样，所以源退化电阻大的支路是存在电阻的一侧。自然，为了保证一开始的跨导在电阻一侧，所以电阻一侧的PMOS负载应为二极管连接型。
