写在前面
本文来源于
“A. Sheikholeslami, “Looking into a Node [Circuit Intuitions],” in IEEE Solid-State Circuits Magazine, vol. 6, no. 2, pp. 8-10, Spring 2014, doi: 10.1109/MSSC.2014.2315062.”
本文利用基本的MOS模型
本文利用的MOS基本模型如下图所示，
可以看到作者还考虑了体效应带来的JFET的跨导电流源的作用$g_{mb}$。
作者还提到了这种方法的动机，常用的暴力法使用KCL/KVL进行求解的方式会存在两个缺点：1、经常会出错，计算过于复杂；2、对于电路的工作原理不能提供直观的解释。
本文通过几种基本元素（building block的概念）的建立帮助读者快速分析电路。
8种基本模型
本文给出了8种常用的模型，来计算从端子看入的阻抗，8种模型如下图所示，
模型一
模型一是一个简单的PMOS，它的源和漏都接地，这时，从栅极看进去的等效电路是一个无穷大的电阻。
即使源和漏不是接地，从栅极看进去的电阻也是无穷大的。
模型二
NMOS栅极和源极均接地，从漏极看进去，只能看到一个$r_o$，如下图所示，
可以从MOS管的等效模型，如下图所示，分析出，如果G与S均接地，那么跨到受控源的电流就为零，相当于该器件不存在，所以也就只能看到一个$r_o$了
模型三
该电路的MOS管的D与G均小信号接地，这时从S看入的电路为
$$
r_o||1/(g_{m}+g_{mb})
$$
模型四
这种情况下从漏看入的阻抗为
$$
r_o||1/(g_m)
$$
需要注意的是，由于体和漏都接地，所以体效应的跨导就被忽略了。
模型五
此模型类似Cascode结构，这种结构作者没有进行推导过，我在这里用我想出的一种非常简单的方法推导一下。
我的导师曾经说过，要摒弃从电压的角度分析和观看电路，要学会从电流的角度分析和观看电路，这里也不例外，我们先从电流的角度来看看这个电路
上面一张图是我分析电路经常会画的一张图，将MOS的$r_o$绘制在原先的图上，接下去在输出施加一个向里的电流，观看在输出端产生的电压变化。
接下去读者想象自己是那个电流，一开始，MOS管的S是没有电压的，所以$V_{GS}=0$，电流不可能从MOS管的跨导电流源上走，只能走$r_o$。
这里教授读者一个小技巧，那就是我这些图里的MOS管符号都是指只有受控电流源的MOS管，非理想的代表沟道长度调制效应的$r_o$已经分离出去了。从这个层面将，读者完全可以把MOS的符号看作是一个理想的受控电流源。
接着上面的电流继续说，假如我是$i_x$，那么我一定会走$r_o$，直接的结果就是在$r_o$两端产生大小为$i_1r_o$的电压差。
接下去作为电流，我会有两个方向行走，一个是往上走，进入MOS的源，一个是往下走，进入电阻。当然，我作为电流没办法在进入电路之前就知道该往哪边走，不过有一个原则那就是我肯定往电阻小的支路行走，这样产生的电压最小。从直观上来讲，当然是往MOS的源走的电阻比较小，因为一般认为$1/g_m$是比较小的，但是从定量计算的角度来说，我们还是需要进一步定量算一下。
这里的精髓在于无论往上走还是往下走，产生总的电位是一样的，也就是说往下走的电流经过R产生一个电压，这个电压反过来通过MOS的跨导电流源产生一个向上的电流，这个机制会进行相互牵制相互调节，直到最后达到一个平衡。
用数学的语言表达上述的关系就是，
$$
(i_1-i_2)Rg_m=i_2
$$
上面的式子中，$(i_1-i_2)$表示了流入R的电流，作用在$R$上，产生一个电压，通过$g_m$生成向上的电流$i_2$。我们一下子就得到了如下的$i_1$和$i_2$的关系，如下所示，
$$
\frac{i_1}{1+g_mR}=\frac{i_2}{g_mR}
$$
所以可以发现我们可以把$i_1$均分$(1+g_mR)$、把$i_2$均分$(g_mR)$份之后，所得到的element是一样的。这个所谓的element就是我们的$i_x$。
聪明的读者应该马上可以直接写出我们的$v_x$，如下所示，
$$
v_x=i_x(1+g_mR)r_o+i_xR
$$
我们为了清晰，这里再解释一下上述式子，由于我们把所有的电流都分解为了$i_x$的倍数，如下所示
$$
i_1=(1+g_mR)i_x\
i_2=g_mRi_x
$$
所以输出电流为$i_1$作用在$r_o$上的电压降加上$i_1-i_2=i_x$作用在$R$上产生的压降，也就是上面的式子了，稍微归纳一下，我们可以得到输出电阻为，
$$
r_{out}=\frac{v_x}{i_x}=(1+g_mR)r_o+R
$$
模型六
可以看到模型六的电路图中为在MOS的D上加上电阻$R_D$，栅极接地，要求从源看入的阻抗。
这里给读者一个思考的空间，利用上面模型五的方法可以一模一样地求解出上图所示地输出阻抗，请读者自行尝试求解，之后再往下看我给地解决方案。
首先先绘制出我想要的可以使用电流观点进行分析的电路草图，如下所示，
像上图标识的那样，我们先要在想要测试的端口施加一个电流$i_x$，然后读者假想自己是$i_x$，想要钻进阻碍小（电阻小）的通路。我的导师曾经教导过我们，MOS管的源总是最敏感的，所谓最敏感，就是这个地方阻抗最小，很小的电压变化就可以产生巨大的电流变化。所以电流一定先流入的是MOS的源，我们称这个电流为$i_2$，接下去电流会有两个方向，一个是流向$R$，一个是流向$r_o$，我们认为流入$R$以及$r_o$的两路电流最终会达到一个平衡，在这个时候，在输出产生的电压差通过跨导电流源$g_m$产生的电流刚好为$i_2$，上述关系可以使用下面的数学表达式进行表达，
$$
((i_2-i_1)R-i_1r_o)g_m=i_2
$$
简单整理之后我们可以获得下面的表达式，
$$
\frac{i_2}{g_mR+g_mr_o}=\frac{i_1}{g_mR-1}=i_0
$$
上式将$i_2$以及$i_1$分解为$i_0$的倍数，所以我们可以用$i_0$表达出$i_x$和$v_x$
$$
i_x=i_2-i_1=(1+g_mr_o)i_o\
v_x=\frac{i_2}{g_m}=\frac{(g_mR+g_mr_o)i_0}{g_m}
$$
马上我们可以得到输出阻抗为，
$$
r_{out}=\frac{v_x}{i_x}=\frac{R+r_o}{1+g_mr_o}
$$
模型七和模型八
我个人觉得这篇文章接下去的内容在实际中作用不大，可能是本人目前的水平不到，待之后水平上升之后再看看，说不定能有新的体会。
